У меня один раз была почти такая же ситуация после установки игры не из маркета. Реклама лезла даже когда ничего не открывал, просто на рабочем столе появлялись баннеры. Я тогда зашёл в настройки - приложения - и отсортировал по дате установки, там сразу нашлось какое-то странное приложение без иконки, которое появилось вместе с игрой. Удалил его, ещё проверил разрешения и отключил показ поверх других окон - после этого всё стало нормально.
Если вдруг это не поможет, можно попробовать поставить в Плей Маркете приложение Popup Detector. Открываете его, сверху нажимаете «сканировать», и после проверки он показывает список программ, которые вызывают всплывающую рекламу. Обращайте внимание на приложения без иконки или с какими-то непонятными названиями - чаще всего именно они и оказываются причиной. Ссылка на Popup Detector